1. Hàm số (Function)
1.1. Khái niệm
Gọi $X$ và $Y$ là các tập số thực. Một hàm giá trị thực $f$ của một biến số thực $x$ từ $X$ sang $Y$ là một quy luật tương ứng sao cho với mỗi số $x$ trong $X$ xác định được duy nhất một số $y$ trong $Y$.
Minh họa hàm số
Tập xác định (Domain) của $f$ là tập $X$. Số $y$ là ảnh của $x$ hoặc giá trị của $f$ tại $x$ và được viết $y=f(x)$. Miền giá trị (Range) của $f$ là một tập hợp con của $Y$ và chứa tất cả các ảnh của các con số trong $X$.Ví dụ: Tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} $ là tập các giá trị $x$ sao cho $x - 1 \geq 0$, tức là khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$. Để tìm miền giá trị, ta quan sát thấy $\sqrt {x - 1} $ luôn không âm. Do đó, miền giá trị là khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$.
1.2. Phân loại
Các hàm số sơ cấp được chia thành 3 loại:- Hàm đại số (hàm đa thức, hàm vô tỉ, hàm hữu tỉ).
- Hàm lượng giác (hàm sin, hàm cos, hàm tan, hàm cot,…).
- Hàm lũy thừa và hàm logarithm.
1.3. Hàm số hợp
Gọi $f$ và $g$ là các hàm số. Hàm số $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ là hàm hợp của hàm $f$ với $g$. Miền xác định của $f \circ g$ là tập hợp tất cả $x$ trong tập xác định của $g$ sao cho $g(x)$ nằm trong tập xác định của $f$.
Minh họa hàm số hợp
b. $g \circ f$
Giải:
a. $f \circ g\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {\cos x} \right) = 2\left( {\cos x} \right) - 3 = 2\cos x - 3$
b. $g \circ f\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {2x - 3} \right) = \cos \left( {2x - 3} \right)$
Ta thấy $f \circ g\left( x \right) \neq g \circ f\left( x \right)$
1.4. Tính chẵn và lẻ của hàm số
Trong thuật ngữ về hàm số, hàm số là chẵn khi đồ thị của nó đối xứng qua trục $Oy$ và hàm số là lẻ khi đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ $O$. - Hàm $y = f\left( x \right)$ là chẵn khi $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$. - Hàm $y = f\left( x \right)$ là lẻ khi $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$.Ví dụ:
a. Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - x$ là hàm số lẻ vì: $$f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} - \left( { - x} \right) = - {x^3} + x = - \left( {{x^3} - x} \right) = - f\left( x \right)$$
b. Hàm số $g\left( x \right) = 1 + \cos x$ là hàm số chẵn vì: $$f\left( { - x} \right) = 1 + \cos \left( { - x} \right) = 1 + \cos \left( x \right) = f\left( x \right)$$ c. Hàm số $h\left( x \right) = {x^2} + x + 1$ không chẵn không lẻ vì $f\left( { - x} \right) \ne f\left( x \right)$ và $f\left( { - x} \right) \neq - f\left( x \right)$.
2. Hàm ngược (Inverse function)
2.1. Khái niệm
Một hàm số $g$ là hàm ngược của hàm số $f$ khi:- $f\left( {g\left( x \right)} \right) = x$ với mỗi $x$ trong tập xác định $g$.
- $g\left( {f\left( x \right)} \right) = x$ với mỗi $x$ trong tập xác định $f$.
Minh họa hàm ngược
Ví dụ: $f\left( x \right) = 2{x^3} - 1$ và $g\left( x \right) = \sqrt[3]{{\dfrac{{x + 1}}{2}}}$ là những hàm ngược của nhau vì:
Tập xác định và miền giá trị của chúng là tập số thực.
Hàm hợp của $f$ với $g$ là: $f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{{x + 1}}{2}}}} \right) = 2{\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{{x + 1}}{2}}}} \right)^3} - 1 = x$
Hàm hợp của $g$ với $f$ là: $g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {2{x^3} - 1} \right) = \sqrt[3]{{\dfrac{{2{x^3} - 1 + 1}}{2}}} = x$
2.2. Tính chất
- Nếu $g$ là hàm ngược của $f$ thì $f$ là hàm ngược của $g$.
- Tập xác định của ${f^{ - 1}}$ bằng miền giá trị của $f$ và miền giá trị của ${f^{ - 1}}$ bằng tập xác định của ${f}$.
- Một hàm không nhất thiết phải có hàm ngược nhưng khi nó có thì hàm ngược của nó là duy nhất.
- Tính chất phản xạ: Đồ thị của $f$ chứa điểm $(a,b)$ khi và chỉ khi đồ thị của ${f^{ - 1}}$ chứa điểm $\left( {b,a} \right)$. Đồ thị của $f$ và ${f^{ - 1}}$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.
- Một hàm số có một hàm ngược khi và chỉ khi nó là đơn ánh.
- Nếu $f$ đơn điệu nghiêm ngặt trên toàn miền xác định thì nó là đơn ánh và có hàm ngược.
2.3. Cách xác định hàm ngược
- Chứng minh sự tồn tại của hàm ngược.
- Giải $x$ như là hàm của $y$: $x = g\left( y \right) = {f^{ - 1}}\left( y \right)$
- Hoán đổi $x$ và $y$ thu được phương trình: $y = {f^{ - 1}}\left( x \right)$ \item Xác định tập xác định của ${f^{ - 1}}$ là miền giá trị của $f$.
- Chứng tỏ rằng: $f\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right) = x$ và ${f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = x$.
Ví dụ: Tìm hàm ngược của $f\left( x \right) = \sqrt {2x - 3} $.
Giải:
+ Tập xác định: $D = \left[ {\dfrac{3}{2};
+ \infty } \right)$. Dễ thấy $f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {2x - 3} }} > 0$ với $\forall x \in D$ $\Rightarrow$ $f$ luôn tăng trên $D$. Do đó, $f$ đơn điệu nghiêm ngặt và nó có hàm ngược.
+ Gọi $y = f\left( x \right)$ giải $x$ theo $y$, ta được: $y = \sqrt {2x - 3} \Rightarrow x = \dfrac{{3 + {y^2}}}{2}$
+ Hoán đổi $x$ và $y$: $y = \dfrac{{3 + {x^2}}}{2}$
+ Như vậy, ta có: ${f^{ - 1}}\left( x \right) = \dfrac{{3 + {x^2}}}{2}$ + Dễ thấy, miền xác định của ${f^{ - 1}}$ là miền giá trị của $f$, đó là $\left[ {0; + \infty } \right)$.
+ Kiểm tra, ta có:
$f\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right) = f\left( {\dfrac{{3 + {x^2}}}{2}} \right) = \sqrt {2\left( {\dfrac{{3 + {x^2}}}{2}} \right) - 3} = \sqrt {{x^2}} = x$ với $x \in \left[ {0; + \infty } \right)$.
${f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = {f^{ - 1}}\left( {\sqrt {2x - 3} } \right) = \dfrac{{3 + {{\left( {\sqrt {2x - 3} } \right)}^2}}}{2} = x$ với $x \in \left[ {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)$
3. Hàm lượng giác ngược (Inverse trigonometric functions)
3.1. Khái niệm
Nhận xét: “Không có hàm lượng giác nào có hàm ngược vì hàm lượng giác là những hàm tuần hoàn nên nó không đơn ánh”.Xét hàm $f\left( x \right) = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$:
Hàm số tăng và đơn ánh trên $\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$.
Trên đoạn này, ta xác định hàm ngược “bị hạn chế”: $y = \arcsin x$ khi và chỉ khi $\sin y = x$, trong đó $ - 1 \leq x \leq 1$ và $ - \dfrac{\pi }{2} \leq \arcsin x \leq \dfrac{\pi }{2}$.
Đồ thị $y=\sin x$ và $y=\arcsin x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Hàm & Tập xác định & Miền giá trị & Đồ thị \\ \hline $y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x$ & $ - 1 \leq x \leq 1$ & $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2} $ & \includegraphics[scale=.25]{hinh15} \\ \hline $y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x$ & $ - 1 \leq x \leq 1$ & $ 0 \leq y \leq \pi $ & \includegraphics[scale=.25]{hinh16} \\ \hline $y = \arctan x \Leftrightarrow \tan y = x$ & $ - \infty \leq x \leq + \infty $ & $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2}$ & \includegraphics[scale=.25]{hinh17} \\ \hline $y = \operatorname{arccot} x \Leftrightarrow \cot y = x$ & $ - \infty \leq x \leq + \infty $ & $0 \leq y \leq \pi $ & \includegraphics[scale=.25]{hinh18} \\ \hline \end{tabular} \end{center}
Ví dụ: $\arcsin \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{\pi }{6}$, $\arccos 0 = \dfrac{\pi }{2}$, $\arctan \sqrt 3 = \dfrac{\pi }{3}$.
Chú ý: Ngoài 4 hàm lượng giác cơ bản trên, ta còn 2 hàm lượng giác cơ bản nữa là: $\sec x = \dfrac{1}{{\cos x}}$ và $\csc x = \dfrac{1}{{\sin x}}$ tương ứng với 2 hàm lượng giác ngược: ${\text{arc}}\sec x$ (tập xác định $\left| x \right| \geq 1$, miền giá trị $0 \leq y \leq \pi ,y \ne \dfrac{\pi }{2}$) và ${\text{arc}}\csc x$ (tập xác định $\left| x \right| \geq 1$, miền giá trị $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2},y \neq 0$).
3.2. Tính chất
- Nếu $ - 1 \leq x \leq 1$ và $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2}$ thì $\sin \left( {\arcsin x} \right) = x$ và $\arcsin \left( {\sin y} \right) = y$.
- Nếu $ - \dfrac{\pi }{2} \leq y \leq \dfrac{\pi }{2}$ thì $\tan \left( {\arctan x} \right) = x$ và $\arctan \left( {\tan y} \right) = y$.
- Nếu $\left| x \right| \geq 1$ và $0 \leq y < \dfrac{\pi }{2}$ hoặc $\dfrac{\pi }{2} < y \leq \pi $ thì $\sec \left( {\operatorname{arc} \sec x} \right) = x$ và $\operatorname{arc} \sec \left( {\sec y} \right) = y$. Tương tự cho các hàm lượng giác ngược còn lại.
- $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi }{2}$
- $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi }{2}$
- $\arctan x = \arcsin \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)$ \item $\arcsin x = \arctan \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$ với $\left| x \right| \leq 1$
- $\arctan x + \arctan y = \arctan \left( {\dfrac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$ với $xy < 1$
4. Hàm hyperbol (Hyperbolic functions)
4.1. Khái niệm
- $\sinh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}$
- $\operatorname{csch} x = \dfrac{1}{{\sinh x}}$ \item $\cosh x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}$
- $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{{\cosh x}}$
- $\tanh x = \dfrac{{\sinh x}}{{\cosh x}}$
- $\coth x = \dfrac{1}{{\tanh x}}$
4.2. Tính chất
- ${\cosh ^2}x - {\sinh ^2}x = 1$
- ${\tanh ^2}x + {\operatorname{sech} ^2}x = 1$
- ${\coth ^2}x - {\operatorname{csch} ^2}x = 1$
- ${\sinh ^2}x = \dfrac{{ - 1 + \cosh 2x}}{2}$
- ${\cosh ^2}x = \dfrac{{1 + \cosh 2x}}{2}$
- $\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x$
- $\cosh 2x = {\cosh ^2}x + {\sinh ^2}x$
- $\sinh \left( {x + y} \right) = \sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y$
- $\sinh \left( {x - y} \right) = \sinh x\cosh y - \cosh x\sinh y$
- $\cosh \left( {x + y} \right) = \cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y$
- $\cosh \left( {x - y} \right) = \cosh x\cosh y - \sinh x\sinh y$
4.3. Hàm hyperbol ngược
\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Hàm hyperbol ngược & Tập xác định \\ \hline ${\sinh ^{ - 1}}x = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$ & $\left( { - \infty , + \infty } \right)$ \\ \hline ${\cosh ^{ - 1}}x = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$ & $\left[ {1, + \infty } \right)$ \\ \hline ${\tanh ^{ - 1}}x = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}$ & $\left( { - 1,1} \right)$ \\ \hline ${\coth ^{ - 1}}x = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$ & $\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)$ \\ \hline ${\operatorname{sech} ^{ - 1}}x = \ln \dfrac{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}{x}$ & $\left( {0,1} \right]$ \\ \hline $\operatorname{csch}^{ - 1}x = \ln \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\left| x \right|}}} \right)$ & $\left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}Bài tập
Áp dụng cho các bài từ 1-3. Tìm tập xác định của hàm số:1. $y = \arccos \left( {2\sin x} \right)$
2. $y = \arcsin \left( {\dfrac{{x - 3}}{2}} \right) - \log \left( {4 - x} \right)$
3. $y = \dfrac{{\arctan \left( {1 - \sqrt {2x - 1} } \right)}}{x}$
4. Cho $u = \sqrt {1 + {v^2}}$, $y = {e^v}$, $x = \arcsin y$ . Tìm $u\left( x \right)$.
Áp dụng cho các bài từ 5-9 Chứng minh công thức sau:
5. $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi }{2}$
6. $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi }{2}$
7. $\arcsin x = \arctan \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$
8. $\arctan x = \arcsin \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)$
9. $\sin \left( {\arccos x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $
No comments:
Post a Comment